LOS VIDEOS DE LAS LEYES DE MENDEL
Un estudio británico señala que si los jóvenes de ese país tuvieran que escoger entre sus teléfonos celulares e internet, por una parte, y la televisión, por la otra, no dudarían en renunciar a la televisión.MATEMATICAS
Grado 7, Matemáticas, Sustracciones algebraicas.
Tema: Sustracciones algebraicas sencillas.
Propósito: reconocer la importancia de realizar sustracciones con números enteros para su aplicación en las sustracciones algebraicas.
1. Fase Afectiva
1.1 Valoración de Saberes Previos (VSP)
Recordemos que la sustracción se puede asumir como una suma donde el sutraendo es el opuesto del segundo sumando. Por ejemplo 4-6 es equivalente a 4+(-6)
==================================================
Ejercicio1 : Convierta a suma las siguientes restas y calcule el resultado.
a) 4-7
b) 8-2
c) 2300-4507
2. Fase Cognitiva
Propósito: reconocer la importancia de realizar sustracciones con números enteros para su aplicación en las sustracciones algebraicas.
1. Fase Afectiva
1.1 Valoración de Saberes Previos (VSP)
Recordemos que la sustracción se puede asumir como una suma donde el sutraendo es el opuesto del segundo sumando. Por ejemplo 4-6 es equivalente a 4+(-6)
==================================================
Fase Expresiva
==================================================Ejercicio1 : Convierta a suma las siguientes restas y calcule el resultado.
a) 4-7
b) 8-2
c) 2300-4507
2. Fase Cognitiva
Expresiones algebraicas: monomios.
El pensamiento numérico hace parte de los cinco pensamientos que se potencian en matemáticas. Este pensamiento ayuda a adquirir competencias en otros pensamientos, como el variacional, donde se realizan operaciones con cantidades que se desconocen. Por ejemplo, si un cuadrado tiene como longitud de lado cierta cantidad x, su perímetro se calcula mediante la expresión 4x,
como se muestra en la imagen de la izquierda.
La expresión 4x es de tipo algebraica pues su representación simbólica incluye cantidades numéricas y letras. En este caso el 4 por tener 4 lados el cuadrado y todos de igual medida (x+x+x+x) y x por ser una longitud desconocida.
==================================================
Ejercicio 2: Si el cuadrado hubiera tenido un lado de longitud r, su perimetro P se calcularía mediante la expresión:
Con este tipo de expresiones también se hacen sumas y restas. Nos ocuparemos de aquellas que tienen como parte numérica números enteros.
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Ejercicio 3: ¿Cuál de las siguientes expresiones NO estudiaremos en esta sección?
Un monomio tiene parte numérica que se llama coeficiente y se escribe a la izquierda de la letra. Algunas letras tienen parte numérica a manera de exponente, por ejemplo 5p².
Cuando se realizan operaciones de suma y resta con monomios, se operan los coeficientes y se deja la misma parte literal.
Ejemplo1:
3a+4a
=7a
Ejemplo 2:
3x+(-5x)
( 3+(-5) ) x Se suman los coeficientes: 3+(-5) que es -2
(-2) x
-2x
Ejemplo 3:
2a+3b-(5a-6b)
2a + 3b -5a+6b .................... Se aplica el opuesto de 5a y -6b
2a -5a +3b +6b .................Se agrupan términos con literales idénticas.
(2-5) a +(3+6) b ................Se operan los coeficientes
-3a + 9b
==================================================
Ejercicio 4: Uno de los lados de un cuadrado mide k metros, dibújelo y escriba el valor algebraico de su perímetro P. Recuerde escribir "P=".
Ejercicio 5: Camilo compra x empanadas el lunes y t empanadas el martes, en los dos días compró
a) xt empanadas
b) x-t ampanadas
c) t-x empanadas
d) x+t empanadas.
Ejercicio 6: Sofía tiene b bananas y le pierden x cantidad de éstas, la nueva cantidad de bananas que tiene Sofía es de
a) b+x
b) b-x
c) x-b
d) xb
Ejercicio 7: Calcular
a) x+x
b) y+y+y
c) m+n+m+n+m+n+n
d) 2a-3a
e) 1r-4r Nota: la mayoría de las veces, 1r se escribe sólo r.
f) r-6r
g) 5w+(-3w)
h) (x+y) -y
i) (x-y)-y
j) (a+b)- (-a)
k) a+b - (-b)
l) 2z-5t-(z-4t)
Ejercicio 8: Sea la operación & definida así:
a&b= (a-b) - (a+b), por ejemplo
8&5 = (8-5) - (8+5)
8&5= (3) - (13)
8&5 = -10
Calcular:
a) 3&6
b) 9&2
c) -3&10
Fin del taller
El pensamiento numérico hace parte de los cinco pensamientos que se potencian en matemáticas. Este pensamiento ayuda a adquirir competencias en otros pensamientos, como el variacional, donde se realizan operaciones con cantidades que se desconocen. Por ejemplo, si un cuadrado tiene como longitud de lado cierta cantidad x, su perímetro se calcula mediante la expresión 4x,
como se muestra en la imagen de la izquierda.La expresión 4x es de tipo algebraica pues su representación simbólica incluye cantidades numéricas y letras. En este caso el 4 por tener 4 lados el cuadrado y todos de igual medida (x+x+x+x) y x por ser una longitud desconocida.
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Fase Expresiva
==================================================Ejercicio 2: Si el cuadrado hubiera tenido un lado de longitud r, su perimetro P se calcularía mediante la expresión:
a) r+r b) r+r+r c) r+r+r+r d) r/r + r/r
Con este tipo de expresiones también se hacen sumas y restas. Nos ocuparemos de aquellas que tienen como parte numérica números enteros.
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Fase Expresiva
==================================================Ejercicio 3: ¿Cuál de las siguientes expresiones NO estudiaremos en esta sección?
a) 0.5x b) 3x c)-2a d) 4p
A estas expresiones se les conoce como monomio, varios monomios conforman un polinomio: si tiene dos monomios se llama binomio, si tiene tres monomios se llama trinomio, más de cuatro monomios se llama polinomio.Un monomio tiene parte numérica que se llama coeficiente y se escribe a la izquierda de la letra. Algunas letras tienen parte numérica a manera de exponente, por ejemplo 5p².
Cuando se realizan operaciones de suma y resta con monomios, se operan los coeficientes y se deja la misma parte literal.
Ejemplo1:
3a+4a
=7a
Ejemplo 2:
3x+(-5x)
( 3+(-5) ) x Se suman los coeficientes: 3+(-5) que es -2
(-2) x
-2x
Ejemplo 3:
2a+3b-(5a-6b)
2a + 3b -5a+6b .................... Se aplica el opuesto de 5a y -6b
2a -5a +3b +6b .................Se agrupan términos con literales idénticas.
(2-5) a +(3+6) b ................Se operan los coeficientes
-3a + 9b
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Fase Expresiva
==================================================Ejercicio 4: Uno de los lados de un cuadrado mide k metros, dibújelo y escriba el valor algebraico de su perímetro P. Recuerde escribir "P=".
Ejercicio 5: Camilo compra x empanadas el lunes y t empanadas el martes, en los dos días compró
a) xt empanadas
b) x-t ampanadas
c) t-x empanadas
d) x+t empanadas.
Ejercicio 6: Sofía tiene b bananas y le pierden x cantidad de éstas, la nueva cantidad de bananas que tiene Sofía es de
a) b+x
b) b-x
c) x-b
d) xb
Ejercicio 7: Calcular
a) x+x
b) y+y+y
c) m+n+m+n+m+n+n
d) 2a-3a
e) 1r-4r Nota: la mayoría de las veces, 1r se escribe sólo r.
f) r-6r
g) 5w+(-3w)
h) (x+y) -y
i) (x-y)-y
j) (a+b)- (-a)
k) a+b - (-b)
l) 2z-5t-(z-4t)
Ejercicio 8: Sea la operación & definida así:
a&b= (a-b) - (a+b), por ejemplo
8&5 = (8-5) - (8+5)
8&5= (3) - (13)
8&5 = -10
Calcular:
a) 3&6
b) 9&2
c) -3&10
Fin del taller
MATEMATICAS
Grado 7, Matemáticas, sustracción con números enteros.
Tema: sustracción con números enteros.
1. Fase Afectiva
1.3 Valoración de Saberes Previos.
a) factor
b) minuendo
c) sustraendo
d) diferencia
1.3.2 En la expresión 45-12=33, el 12 es el
a) minuendo
b) sustraendo
c) diferencia
1.3.3 La diferencia entre dos números naturales es 10, si uno de ellos es 9, el otro es
a) 18
b) 1
c) 19
d) 91
13.4 Al restar dos números desconocidos a y b, se obtiene como resultado un número positivo diferente de cero, se puede concluir que
a) a es menor que b
b) a es mayor que b
c) a es igual a b
d) es imposible ordenar los números a y b.
1. Fase Afectiva
1.1 Propósito: comprender el proceso de solución de una sustracción y aplicarlo para la comprensión de un problema.
1.2 Indicador de desempeño: utilizo las operaciones entre números enteros para dar solución a problemas en diferentes contextos.
1.3 Valoración de Saberes Previos.
Selecciona la respuesta que consideres correcta, mostrando los procesos y operaciones llevados a cabo.
1.3.1 Una de las siguientes palabras NO hace referencia a las partes de una sustracción:
a) factor
b) minuendo
c) sustraendo
d) diferencia
1.3.2 En la expresión 45-12=33, el 12 es el
a) minuendo
b) sustraendo
c) diferencia
1.3.3 La diferencia entre dos números naturales es 10, si uno de ellos es 9, el otro es
a) 18
b) 1
c) 19
d) 91
13.4 Al restar dos números desconocidos a y b, se obtiene como resultado un número positivo diferente de cero, se puede concluir que
a) a es menor que b
b) a es mayor que b
c) a es igual a b
d) es imposible ordenar los números a y b.
1.3.5 
El hexágono irregular PQRSTU de la figura (seis lados de diferente longitud cada uno) cumple que pq=22cm., QR=20 cm., SR=11 cm. y PU=17 cm. Se desconocen las medidas de los lados UT y TS. De acuerdo con la información, ST y TU miden respectivamente
Nota: tenga cuidado con el orden de las medidas, pues la afirmación va seguida de la palabra "respectivamente".
a) 11 y 3 cm
b) 10 y 3 cm
c) 3 y 11 cm.
1.3.6 En el problema anterior, se ha cortado un rectángulo de 3cm por 11 cm del rectángulo grande de 20 cm por 22 cm. El área del rectángulo grande es 440 cm² y el área del rectángulo pequeño es de 33cm², significa que el área del hexágono se puede calcular
a) sumando estos valores
b) restando estos valores
c) restando del área mayor, el área menor.
d) con ayuda de un computador.
1.3.7 Calcular el valor de la incógnita x en la ecuación x+2.345.674=3.435.200, escriba el proceso y la operación que realice.
1.3.8 En un grupo de 20 estudiantes, 12 juegan fútbol y 15 juegan baloncesto. Escriba las operaciones necesarias para calcular el número de estudiantes que juegan ambos deportes si 10 sólo juegan fútbol.
1.4 SITUACIÓN SIGNIFICATIVA DE APRENDIZAJE
Camilo compra 400 camisas a $26.800 cada una, para venderlas a $35.200 cada una. Al terminar el mes se ha dado cuenta que vendió sólo 395 de las camisas y que le robaron el resto. ¿Cuál fue la ganancia total que tuvo Camilo?
Solución:
La ganancia total que tuvo Camilo se calcula multiplicando la totalidad de las camisas por el precio al cual las vende cada una y luego restando a este valor el producto entre la cantidad de camisas que le robaron por el precio al cual compró cada una:
==================================================
Fase Expresiva
==================================================1.4.1 Ejercicio: busca otra forma de realizar el cálculo de las gananccias totales de Camilo, escribe el proceso en cada operación y justifícalo.
1.5 Fase Cognitiva
La resta o sustraccion es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.
¿Qué es la resta?
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si 9+2=11 entonces 11-2=9 y 11-9=2. Generalizando: si a+b=c, entonces c–b=a y c-a=b.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto de los Naturales.
En matemáticas de séptimo grado no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.
a) 67-23
b) 45-25
c) 2.400.000-2.500.000
d) 200-300
e) (200+100) - 500
f) 0-34
g) (+1) - (-2)
h) (-3) - (+4)
i) (-100) - (+200)
j) (-120) - (-560)
k) (+100) - (+200)
l) (100) - (200)
m) -45 - (-1)
Se pueden realizar sustracciones con números enteros de dos formas: aplicando el criterio de comparación entre minuendo y sustraendo con signos (relación de orden y signos) o por el método del opuesto.
Sustracción aplicando el criterio.
Este criterio consta de dos partes: signo de la diferencia y magnitud de la diferencia.
El hexágono irregular PQRSTU de la figura (seis lados de diferente longitud cada uno) cumple que pq=22cm., QR=20 cm., SR=11 cm. y PU=17 cm. Se desconocen las medidas de los lados UT y TS. De acuerdo con la información, ST y TU miden respectivamenteNota: tenga cuidado con el orden de las medidas, pues la afirmación va seguida de la palabra "respectivamente".
a) 11 y 3 cm
b) 10 y 3 cm
c) 3 y 11 cm.
1.3.6 En el problema anterior, se ha cortado un rectángulo de 3cm por 11 cm del rectángulo grande de 20 cm por 22 cm. El área del rectángulo grande es 440 cm² y el área del rectángulo pequeño es de 33cm², significa que el área del hexágono se puede calcular
a) sumando estos valores
b) restando estos valores
c) restando del área mayor, el área menor.
d) con ayuda de un computador.
1.3.7 Calcular el valor de la incógnita x en la ecuación x+2.345.674=3.435.200, escriba el proceso y la operación que realice.
1.3.8 En un grupo de 20 estudiantes, 12 juegan fútbol y 15 juegan baloncesto. Escriba las operaciones necesarias para calcular el número de estudiantes que juegan ambos deportes si 10 sólo juegan fútbol.
1.4 SITUACIÓN SIGNIFICATIVA DE APRENDIZAJE
Camilo compra 400 camisas a $26.800 cada una, para venderlas a $35.200 cada una. Al terminar el mes se ha dado cuenta que vendió sólo 395 de las camisas y que le robaron el resto. ¿Cuál fue la ganancia total que tuvo Camilo?
Solución:
La ganancia total que tuvo Camilo se calcula multiplicando la totalidad de las camisas por el precio al cual las vende cada una y luego restando a este valor el producto entre la cantidad de camisas que le robaron por el precio al cual compró cada una:
==================================================Fase Expresiva
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1.5 Fase Cognitiva
La resta o sustraccion es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.
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Fase Expresiva
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1.5.1 Ejercicio: grafica la proposición: la resta, que es una operación matemática, consiste en eliminar una parte de cierta cantidad dada.Fase Expresiva
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¿Qué es la resta?
Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si 9+2=11 entonces 11-2=9 y 11-9=2. Generalizando: si a+b=c, entonces c–b=a y c-a=b.
En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.
En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto de los Naturales.
En matemáticas de séptimo grado no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.
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Fase Expresiva
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1.5.2 Ejercicio: Observa las siguientes sustracciones y marca con una x aquellas donde el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.Fase Expresiva
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a) 67-23
b) 45-25
c) 2.400.000-2.500.000
d) 200-300
e) (200+100) - 500
f) 0-34
g) (+1) - (-2)
h) (-3) - (+4)
i) (-100) - (+200)
j) (-120) - (-560)
k) (+100) - (+200)
l) (100) - (200)
m) -45 - (-1)
Se pueden realizar sustracciones con números enteros de dos formas: aplicando el criterio de comparación entre minuendo y sustraendo con signos (relación de orden y signos) o por el método del opuesto.
Sustracción aplicando el criterio.
Este criterio consta de dos partes: signo de la diferencia y magnitud de la diferencia.
- Signo de la diferencia: para aplicar este criterio se debe tener claro que cuando en una resta el minuendo es mayor que el sutraendo, la diferencia es positiva, de lo contrario es negativa, a esto se le llama signo de la diferencia. En el caso de ser iguales, la diferencia es nula, es decir equivalente a cero. Por ejemplo, las siguientes sustracciones son positivas:
4-3
Nótese que 4 es (+4) y que 3 es (+3)
léase positivo 4 menos positivo 3
-3-(-6)
porque -3 es mayor que -6
-30 - (-31)
porque -30 es mayor que -31
Nótese que 4 es (+4) y que 3 es (+3)
léase positivo 4 menos positivo 3
-3-(-6)
porque -3 es mayor que -6
-30 - (-31)
porque -30 es mayor que -31
Recuerde que un número es mayor que otro cuando está a su derecha, es decir que a>b si a está a la derecha de b en la recta numérica.
Es de gran importancia que la relación de orden se aplique de manera correcta y se tenga habilidad en la comparación entre números enteros.
Las siguientes sustracciones tienen diferencia negativa:
+( )
como 4-3 es equivalente a
(+4) - (+3)
tienen signos iguales entonces se restan las magnitudes
del mayor el menor
=+(4-3)
=+1
Recuerde que las magnitudes se calculan con el valor absoluto.
El signo de la respuesta (diferencia) es + (positivo) porque
-3 >-6
-3-(-6) = + ( )
Ahora, como tienen signos iguales se restan las magnitudes
6-3=3
La diferencia tiene magnitud 3 y signo +
=+(6-3)
=+3
¿Cómo es 30 c0n respecto a -31?
Respuesta: es mayor.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo positivo.
¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Respuesta: diferentes.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula sumando los valores absolutos:
+(30+31)
=+61
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo negativo.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula sumando los valores absolutos:
-(40+10)
= - 50
En resumen:
1.5.3 Ejercicio: completa los siguientes procesos.
Es de gran importancia que la relación de orden se aplique de manera correcta y se tenga habilidad en la comparación entre números enteros.
Las siguientes sustracciones tienen diferencia negativa:
-3-(-2)
porque -3 es menor que -2
-400-(+500)
como -400 es menor que +500, la diferencia es negativa
+2-(+5)
+2 está a la izquierda de +5 (+2<+5) por consiguiente la diferencia es negativa
Recordemos que si el minuendo es menor que el sutraendo, la diferencia es negativa.porque -3 es menor que -2
-400-(+500)
como -400 es menor que +500, la diferencia es negativa
+2-(+5)
+2 está a la izquierda de +5 (+2<+5) por consiguiente la diferencia es negativa
- Magnitud de la diferencia: si el minuendo y sutraendo tienen igual signo, se resta el valor absoluto del mayor con el valor absoluto del menor y el resultado es la magnitud de la diferencia. de lo contrario, si el minuendo y sutraendo tienen signos diferentes se suman los valores absolutos y el resultado es la magnitud de la diferencia.
Ejemplo: 4-3
como 4 es mayor que 3 la diferencia es positiva+( )
como 4-3 es equivalente a
(+4) - (+3)
tienen signos iguales entonces se restan las magnitudes
del mayor el menor
=+(4-3)
=+1
Recuerde que las magnitudes se calculan con el valor absoluto.
Ejemplo: -3-(-6)
El signo de la respuesta (diferencia) es + (positivo) porque
-3 >-6
-3-(-6) = + ( )
Ahora, como tienen signos iguales se restan las magnitudes
6-3=3
La diferencia tiene magnitud 3 y signo +
=+(6-3)
=+3
Ejemplo: 30 - (-31)
¿Cómo es 30 c0n respecto a -31?
Respuesta: es mayor.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo positivo.
¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Respuesta: diferentes.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula sumando los valores absolutos:
+(30+31)
=+61
Ejemplo: -40 - (+10)
- ¿Cómo es -40 con respecto a +10?
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo negativo.
- ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula sumando los valores absolutos:
-(40+10)
= - 50
En resumen:
- Si el minuendo es mayor o igual que es sustraendo, la diferencia es positiva o nula, de lo contrario es negativa.
- Si el minuendo y sustraendo tienen signos iguales, se restan sus valores absolutos, del mayor el menor, de lo contrario se suman.
==================================================
Fase Expresiva
==================================================
Fase Expresiva
==================================================
1.5.3 Ejercicio: completa los siguientes procesos.
a) -20- (+10)
- ¿Cómo es -20 con respecto a +10?
Respuesta: _________.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________
- ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Respuesta: _________.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:
= (______)
= ________
En matemáticas de séptimo grado no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Ejemplo 1: 2 - (-4)
-45 +op(-1)
-45 +(+1)
-44
Sustracción con minuendo y sutraendo compuestos.
Una sustracción es compuesta cuando el minuendo o sustraendo o ambos, tienen operaciones en su interior, por ejemplo 45-(8-3). Nótese que el sustraendo es una resta, que se debe realizar para dejarlo símple:
a) (3+2)-(4+2)
b) (8-4) - (9-10)
c) (4+12-13) - (34-2+10)
También se pueden escribir las sumas aplicando el opuesto a los valores internos del sustraendo:
d) (90-34) - (4-23+12).........................
f) (-50+12)- (36-(-45)+(-2))
El opuesto del opuesto deja invariante la cantidad, por ejemplo el opuesto del opuesto de 3 es otra vez 3.
Fin del taller.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:
= (______)
= ________
b) 35 - (-28)
- ¿Cómo es +35 con respecto a -28?
Respuesta: _________.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________
- ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Respuesta: _________.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:
= (______)
= ________
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:
= (______)
= ________
c) 100 - 4.000
- ¿Cómo es +100 con respecto a -4.000?
Respuesta: _________.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________
- ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Respuesta: _________.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:
= (______)
= ________
Sustracción aplicando el opuesto.Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:
= (______)
= ________
En matemáticas de séptimo grado no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.
Ejemplo 1: 2 - (-4)
2 -(-4)
=2+op(-4)
=2+(+4)
=6
=2+op(-4)
=2+(+4)
=6
Ejemplo 1: 4 - (+2)
4 -(+2)
=4+op(+2)
=4+(-2)
aplicando el criterio de suma con signos diferentes:
=2
Ejemplo 1: - 345 - (-23)
=4+op(+2)
=4+(-2)
aplicando el criterio de suma con signos diferentes:
=2
Ejemplo 1: - 345 - (-23)
-345 -(-23)
= -345+(+23)
=-322
==================================================
Fase Expresiva
==================================================
= -345+(+23)
=-322
==================================================
Fase Expresiva
==================================================
1.5.4 Ejercicio: realiza las siguientes restas haciendo convirtiendo la sustracción en suma.
a) 67-23......................................................
=45 +(+25)
=70
Poco a poco omita la función op( )
c) 2.400.000-2.500.000
d) 200-300
e) (200+100) - 500
f) 0-34
g) (+1) - (-2)
h) (-3) - (+4)
i) (-100) - (+200)
-120 +(+560)
-120+560
+440
k) (+100) - (+200)
l) (100) - (200)
=67 + op(-23)
=67 + (+23)
=100
=67 + (+23)
=100
b) 45-25...............................................
=45 +(+25)
=70
Poco a poco omita la función op( )
c) 2.400.000-2.500.000
d) 200-300
e) (200+100) - 500
f) 0-34
g) (+1) - (-2)
h) (-3) - (+4)
i) (-100) - (+200)
j) (-120) - (-560).............................................
-120 +(+560)
-120+560
+440
k) (+100) - (+200)
l) (100) - (200)
m) -45 - (-1)
-45 +op(-1)
-45 +(+1)
-44
Sustracción con minuendo y sutraendo compuestos.
Una sustracción es compuesta cuando el minuendo o sustraendo o ambos, tienen operaciones en su interior, por ejemplo 45-(8-3). Nótese que el sustraendo es una resta, que se debe realizar para dejarlo símple:
45-(8-3)
=45-(+5)
=45+op(+5)
=(+45) + (-5)
Signos diferentes se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto (criterio suma).
=40
==================================================
Fase Expresiva
==================================================
1.5.5 Calcular:=45-(+5)
=45+op(+5)
=(+45) + (-5)
Signos diferentes se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto (criterio suma).
=40
==================================================
Fase Expresiva
==================================================
a) (3+2)-(4+2)
b) (8-4) - (9-10)
c) (4+12-13) - (34-2+10)
También se pueden escribir las sumas aplicando el opuesto a los valores internos del sustraendo:
d) (90-34) - (4-23+12).........................
(90-34) - (4-23+12)
(+56) +op(+4)+op(-23)+op(+12)
56 + (-4) + (+23) + (-12)
Reuniendo los positivos a la izquierda y negativos a la derecha:
56+(+23) +(-4) + (-12)
+79 + (-16)
+63
e) (300-2000) - (-1+23-45)(+56) +op(+4)+op(-23)+op(+12)
56 + (-4) + (+23) + (-12)
Reuniendo los positivos a la izquierda y negativos a la derecha:
56+(+23) +(-4) + (-12)
+79 + (-16)
+63
f) (-50+12)- (36-(-45)+(-2))
Recuerde que : op(op(45))
=op(-45).......
=+45..............
=op(-45).......
=+45..............
El opuesto del opuesto deja invariante la cantidad, por ejemplo el opuesto del opuesto de 3 es otra vez 3.
1.5.6 Ejercicio: analiza y escribe en tu cuaderno la siguiente proposición y su respectivo mentefacto: "Dentro de la clasificación de los conjuntos numéricos, los números enteros, que son una ampliación de los naturales, se conforman de la unión de los siguientes elementos:
- Los enteros positivos, que se representan con Z+ y se extienden del 1 al infinito positivo.
- El cero, que es un elemento neutro.
- Los enteros negativos, que se representan con Z- y se extienden del -1 al infinito negativo".
Fin del taller.
MATEMATICAS
COMASACA, ESTADISTICA, GRADO 7 Mañana, TALLER sobre conceptos fundamentales en Z (enteros).
Tema: Operaciones unarias como opuesto y valor absoluto de un número entero.
Propósito: comprender la importancia de las relaciones de orden, opuesto y valor absoluto de números enteros.
Indicador de desempeño: realiza operaciones de suma y resta haciendo uso del cálculo de opuesto y valor absoluto de un número entero.
1.1 Se introducen 5 balotas (bolas plásticas como las de jugar ping pong) en una urna, marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Sebastián y Julia juegan a sacar dos balotas, una seguida de la otra y restar los números: la primera extraída menos la segunda. Sebastián gana si la resta se puede realizar en los números naturales y Julia gana si se puede realizar en los números enteros.
1.1.1 Escribe todas las posibles sustracciones e indica cuál de ellas se pueden realizar en los números naturales y cúales sólo en los números enteros.
1.1.2 Indica para cuál de los dos es más probable ganar.
1.2 Los números enteros fueron aceptados cuando tuvieron su representación geométrica en la recta numérica. Además, sirvieron para dar solución a ecuaciones como x+5=4, donde x=-1. Soluciona las siguientes ecuaciones mostrando el proceso mediante la aplicación de la propiedad uniforme, cancelativa en naturales, modulativa de la suma y clausurativa en Z, por ejemplo:
................x =4-5....................x+0= x Propiedad modulativa de la suma.
.................x=-1......................4-5=-1 Propiedad clausurativa en Z.
1.2.1........... x+4=3
1.2.2........... k+5=5
1.2.3........... y+2=1
1.2.4........... 3+x=10
1.2.5........... 2+p+4=5
1.2.6........... x-6= 0
1.2.7........... x-10=-1
1.2.8........... -10+m+1=3-1
1.2.9........... 34-28=x+10
1.2.10........... x+x+x+120= 117
1.3 La balanza que se muestra en la imagen está equilibrada. Si 10 flechas pesan 240 gramos, se puede afirmar que:
a) un rombo pesa 5kg más que una flecha.
b) una flecha pesa igual que un cuadro.
c) el cuadro pesa 8 kg más que la flecha.
1.4 Lectura: Los ceros «imperfectos»
2.1 Relaciones de Orden.
4<9 porque 4 está a la izquierda del 9
Ahora analicemos estas relaciones de orden en los números negativos. Recordemos que un número negativo posee magnitud y signo, por ejemplo -8 tiene magnitud o distancia 8 y signo negativo.
Al comparar -10 (negativo diez, recuerde leerlo bien y NO como menos diez) con -4 (negativo cuatro) podemos afirmar que -4 es mayor que -10 porque en la recta numérica, -4 está a la derecha del -10, simbólicamente sería:
2.1.1 Escriba <, > o = según el caso:
a) 4 __ 6
b) 8__0
c) -2__-1
d) 0__-3
e) -3__+3
f) 4+5 __4+(-5)
g) -234___-233
h)1-100 __1-2000
2.1.2 Ubique en la recta numérica los números a y b si se sabe que:
a) a>b
b) ac, c>b y c<0 ¿cómo son a y b?
2.1.3 Organice de menor a mayor los siguientes números:
a) -6, 7, -4 y 0
b) -34, 28, -1, 7 y 23
c) 4+5, 3-5, 6-12 y 0-4 Realice las operaciones para ordenar los cuatro resultados.
2.2 Distancia de un número entero al origen: Valor absoluto.
Cuyo resultado es de 5. En pocas cuentas es dejar la cantidad que aparece en la parte interna, como positivo, siempre.
Ejemplos:
Identificar el valor absoluto de un número entero es de gran importancia en el momento de sumar, situación que veremos más adelante.
2.2.1 Calcular:
a) │20│
b) │-250│
c) │-1500│
d) │-8│+ │-20│
e) ││120-110│-300│
2.3 Opuesto de un número entero.
El opuesto de un número entero es otro número que tiene igual distancia con el cero. Por ejemplo, el opuesto de -5 es +5, pues ambos tienen valor absoluto 5.
Notación
Notación de función: Para indicar que se va a calcular el opuesto de un número, se antecede este de la abreviatura op y entre paréntesis se escribe el número, por ejemplo:
Propósito: comprender la importancia de las relaciones de orden, opuesto y valor absoluto de números enteros.
Indicador de desempeño: realiza operaciones de suma y resta haciendo uso del cálculo de opuesto y valor absoluto de un número entero.
1. Fase Afectiva.
1.1 Se introducen 5 balotas (bolas plásticas como las de jugar ping pong) en una urna, marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Sebastián y Julia juegan a sacar dos balotas, una seguida de la otra y restar los números: la primera extraída menos la segunda. Sebastián gana si la resta se puede realizar en los números naturales y Julia gana si se puede realizar en los números enteros.1.1.1 Escribe todas las posibles sustracciones e indica cuál de ellas se pueden realizar en los números naturales y cúales sólo en los números enteros.
1.1.2 Indica para cuál de los dos es más probable ganar.
1.2 Los números enteros fueron aceptados cuando tuvieron su representación geométrica en la recta numérica. Además, sirvieron para dar solución a ecuaciones como x+5=4, donde x=-1. Soluciona las siguientes ecuaciones mostrando el proceso mediante la aplicación de la propiedad uniforme, cancelativa en naturales, modulativa de la suma y clausurativa en Z, por ejemplo:
.............x+5=4......................Ecuación dada.
.........x+5-5=4-5 ..................Se resta 5 en ambos lados para despejar la incógnita.
...........x+0 = 4-5...................5-5=0 Propiedad cancelativa de la resta en N..........x+5-5=4-5 ..................Se resta 5 en ambos lados para despejar la incógnita.
................x =4-5....................x+0= x Propiedad modulativa de la suma.
.................x=-1......................4-5=-1 Propiedad clausurativa en Z.
1.2.1........... x+4=3
1.2.2........... k+5=5
1.2.3........... y+2=1
1.2.4........... 3+x=10
1.2.5........... 2+p+4=5
1.2.6........... x-6= 0
1.2.7........... x-10=-1
1.2.8........... -10+m+1=3-1
1.2.9........... 34-28=x+10
1.2.10........... x+x+x+120= 117
a) un rombo pesa 5kg más que una flecha.b) una flecha pesa igual que un cuadro.
c) el cuadro pesa 8 kg más que la flecha.
1.4 Lectura: Los ceros «imperfectos»
Varias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Greciaposeen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.1
En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700 a. C.)El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al año 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.
Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero.
Jeroglífico maya para el cero, año36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizandonotación posicional.
El cero también surgió en Mesoamérica y fue ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Civilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por la CivilizaciónOlmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya.2 A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de sunotación posicional, les privó de posibilidades operativas.3
Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba el valor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos pensar que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muy pocos se sumaron a él, y fue desvaneciéndose en la Historia.
Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaba por 1000.
1.4.1 Teniendo como punto de referencia el nacimiento de Cristo, ubica en una recta numérica los acontecimientos mencionados en la lectura.
Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
2. FASE COGNITIVA
2.1 Relaciones de Orden.
Ordenar objetos ha sido una actividad humana frecuente en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Esta operación se hace con el objetivo de facilitar la búsqueda de elementos en un conjunto de datos o simplemente para caracterizarlos: antecedente y consecuente.
Los números naturales tienen un orden, a partir de este orden se establece la propiedad de antecedente y consecuente. Por ejemplo el antecedente de 5 es 4 y el consecuente de 5 es 6. Esto es posible debido al orden que tienen. Como vimos, los números enteros tienen una representación en la recta numérica, que debe tener de unidad a unidad la misma distancia y los valores marcados en las particiones, deben tener la misma diferencia. Desde esta claridad, la recta numérica es una herramienta esencial para comprender el orden en los números enteros Z.
De igual manera como los números naturales, en los enteros, estar a la derecha de un número es ser mayor y estar a la izquierda del número es ser menor. Es por eso que 7 es mayor que 5 porque 7 está a la derecha del 5, ó 5 es menor que 7 porque 5 está a la izquierda del 7.
Notación.
Para indicar que un número es mayor que otro usamos el símbolo >, para indicar que un número es menor que otro utilizamaos el símbolo < y para idicar que un número es equivalente a otro usamos el símbolo =.
Ejemplos:
7>5 porque 7 está a la derecha de 5De igual manera como los números naturales, en los enteros, estar a la derecha de un número es ser mayor y estar a la izquierda del número es ser menor. Es por eso que 7 es mayor que 5 porque 7 está a la derecha del 5, ó 5 es menor que 7 porque 5 está a la izquierda del 7.
Notación.
Para indicar que un número es mayor que otro usamos el símbolo >, para indicar que un número es menor que otro utilizamaos el símbolo < y para idicar que un número es equivalente a otro usamos el símbolo =.
Ejemplos:
4<9 porque 4 está a la izquierda del 9
Ahora analicemos estas relaciones de orden en los números negativos. Recordemos que un número negativo posee magnitud y signo, por ejemplo -8 tiene magnitud o distancia 8 y signo negativo.
Al comparar -10 (negativo diez, recuerde leerlo bien y NO como menos diez) con -4 (negativo cuatro) podemos afirmar que -4 es mayor que -10 porque en la recta numérica, -4 está a la derecha del -10, simbólicamente sería:
-4 > -10
ó
-10 < -4
ó
-10 < -4
2.1.1 Escriba <, > o = según el caso:a) 4 __ 6
b) 8__0
c) -2__-1
d) 0__-3
e) -3__+3
f) 4+5 __4+(-5)
g) -234___-233
h)1-100 __1-2000
2.1.2 Ubique en la recta numérica los números a y b si se sabe que:
a) a>b
b) ac, c>b y c<0 ¿cómo son a y b?
2.1.3 Organice de menor a mayor los siguientes números:
a) -6, 7, -4 y 0
b) -34, 28, -1, 7 y 23
c) 4+5, 3-5, 6-12 y 0-4 Realice las operaciones para ordenar los cuatro resultados.
2.2 Distancia de un número entero al origen: Valor absoluto.
En la recta numérica a la ubicación del cero se le conoce como origen. La distancia a la cual se encuentra un número del cero se le llama valor absoluto y se simboliza con dos barras verticales encerrando el número:
│x│
Por ejemplo, cuando se pregunta por la distancia a la cual se encuentra el -5 del cero, se simboliza:│-5│
Ejemplos:
a) │-4│=4
b) │7│
=7
c) │-4+9│
=│5│
=5
d) 10+│-12│
10 +12
22
e) ││-20│-│250││
=│20-250│
=│-230│
=230
=│5│
=5
d) 10+│-12│
10 +12
22
e) ││-20│-│250││
=│20-250│
=│-230│
=230
Identificar el valor absoluto de un número entero es de gran importancia en el momento de sumar, situación que veremos más adelante.
2.2.1 Calcular:
a) │20│
b) │-250│
c) │-1500│
d) │-8│+ │-20│
e) ││120-110│-300│
2.3 Opuesto de un número entero.
El opuesto de un número entero es otro número que tiene igual distancia con el cero. Por ejemplo, el opuesto de -5 es +5, pues ambos tienen valor absoluto 5.
Notación
Notación de función: Para indicar que se va a calcular el opuesto de un número, se antecede este de la abreviatura op y entre paréntesis se escribe el número, por ejemplo:
op(-34)
=34
=34
Notación con signo negativo: Para indicar que se va a extraer el opuesto de x se denota con el símbolo -, seguido del número entre paréntesis así:
b) op(45)
c) -(90)
d) -(+90)
e) -(3-5)
f) op( op(-34) )
g) -( -(-78) )
Propiedad del inverso aditivo.
En la solución de ecuaciones se hace necesario aplicar la propiedad uniforme de tal manera que se adiciona en ambos costados el opuesto de una cantidad, para que esta se elimine, es decir, que sume cero, pues ¿qué sucede cuando sumas un número con su opuesto? Veamos:
Por ejemplo, al sumar 3 + op(3):
-(-9)
=+9
a) op(-5)=+9
Ambas notaciones son válidas, pero es más frecuente la segunda.
2.3.1 Calcular:
2.3.1 Calcular:
b) op(45)
c) -(90)
d) -(+90)
e) -(3-5)
f) op( op(-34) )
g) -( -(-78) )
Propiedad del inverso aditivo.
En la solución de ecuaciones se hace necesario aplicar la propiedad uniforme de tal manera que se adiciona en ambos costados el opuesto de una cantidad, para que esta se elimine, es decir, que sume cero, pues ¿qué sucede cuando sumas un número con su opuesto? Veamos:
Por ejemplo, al sumar 3 + op(3):
3 + op(3)
3+(-3)
0
3+(-3)
0
Recuerda que en el diagrama de vectores o flechas, la final coincide con el origen.
Al sumar un número con su opuesto se obtiene cero.
2.3.2 Resolver las ecuaciones adicionando el opuesto de la cantidad que consideres necesaria:ç
a) x+45 =28 Ayuda: Adiciona el opuesto de 45 en ambos lados.
b) m + 78 = 77
c) d +(-3) = 45
d) 128 + f = 18
e) 2h +56 = h+1
Las operaciones valor absoluto y opuesto de un número son unarias, pues transforman una sola cantidad. Para comprenderlo hay que reflexionar acerca de cuántos números se necesitan para hacer una suma, la respuesta es que se necesitan dos cantidades, es por esto que la suma se conoce como operación binaria.
2.4 Suma en números enteros.
Curiosidad matemática: un caracol sube una pared de 6 metros de altura. En el día sube tres metros y en la noche se queda dormido y resbala uno. ¿Al cabo de cuántos días llega a la parte más alta de la pared?
Cómo vimos, la suma en la recta real consistía en dibujar vectores, uno seguido del otro de acuerdo al sentido y magnitud de los sumandos.
Después de tan ámplia exploración geométrica, se hace necesario reflexiones acerca de las siguientes situaciones:
a) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son positivos?
b) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando un sumando es positivo y el otro negativo o viceversa?
c) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son negativos?
Escribe diez sumas de cada caso y argumenta tu respuesta, si es necesario, haz uso de la operación valor absoluto para justificar tu respuesta. Es recomendable que después de obtener tus análisis, los compares con la teoría consultada en libros e internet.
Fin de la guía taller.
Al sumar un número con su opuesto se obtiene cero.
2.3.2 Resolver las ecuaciones adicionando el opuesto de la cantidad que consideres necesaria:ç
a) x+45 =28 Ayuda: Adiciona el opuesto de 45 en ambos lados.
b) m + 78 = 77
c) d +(-3) = 45
d) 128 + f = 18
e) 2h +56 = h+1
Las operaciones valor absoluto y opuesto de un número son unarias, pues transforman una sola cantidad. Para comprenderlo hay que reflexionar acerca de cuántos números se necesitan para hacer una suma, la respuesta es que se necesitan dos cantidades, es por esto que la suma se conoce como operación binaria.
2.4 Suma en números enteros.
Curiosidad matemática: un caracol sube una pared de 6 metros de altura. En el día sube tres metros y en la noche se queda dormido y resbala uno. ¿Al cabo de cuántos días llega a la parte más alta de la pared?Cómo vimos, la suma en la recta real consistía en dibujar vectores, uno seguido del otro de acuerdo al sentido y magnitud de los sumandos.
Después de tan ámplia exploración geométrica, se hace necesario reflexiones acerca de las siguientes situaciones:
a) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son positivos?
b) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando un sumando es positivo y el otro negativo o viceversa?
c) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son negativos?
Escribe diez sumas de cada caso y argumenta tu respuesta, si es necesario, haz uso de la operación valor absoluto para justificar tu respuesta. Es recomendable que después de obtener tus análisis, los compares con la teoría consultada en libros e internet.
Fin de la guía taller.
