COMASACA, ESTADISTICA, GRADO 7 Mañana, TALLER sobre conceptos fundamentales en Z (enteros).
Tema: Operaciones unarias como opuesto y valor absoluto de un número entero.
Propósito: comprender la importancia de las relaciones de orden, opuesto y valor absoluto de números enteros.
Indicador de desempeño: realiza operaciones de suma y resta haciendo uso del cálculo de opuesto y valor absoluto de un número entero.
1.1 Se introducen 5 balotas (bolas plásticas como las de jugar ping pong) en una urna, marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Sebastián y Julia juegan a sacar dos balotas, una seguida de la otra y restar los números: la primera extraída menos la segunda. Sebastián gana si la resta se puede realizar en los números naturales y Julia gana si se puede realizar en los números enteros.
1.1.1 Escribe todas las posibles sustracciones e indica cuál de ellas se pueden realizar en los números naturales y cúales sólo en los números enteros.
1.1.2 Indica para cuál de los dos es más probable ganar.
1.2 Los números enteros fueron aceptados cuando tuvieron su representación geométrica en la recta numérica. Además, sirvieron para dar solución a ecuaciones como x+5=4, donde x=-1. Soluciona las siguientes ecuaciones mostrando el proceso mediante la aplicación de la propiedad uniforme, cancelativa en naturales, modulativa de la suma y clausurativa en Z, por ejemplo:
................x =4-5....................x+0= x Propiedad modulativa de la suma.
.................x=-1......................4-5=-1 Propiedad clausurativa en Z.
1.2.1........... x+4=3
1.2.2........... k+5=5
1.2.3........... y+2=1
1.2.4........... 3+x=10
1.2.5........... 2+p+4=5
1.2.6........... x-6= 0
1.2.7........... x-10=-1
1.2.8........... -10+m+1=3-1
1.2.9........... 34-28=x+10
1.2.10........... x+x+x+120= 117
1.3 La balanza que se muestra en la imagen está equilibrada. Si 10 flechas pesan 240 gramos, se puede afirmar que:
a) un rombo pesa 5kg más que una flecha.
b) una flecha pesa igual que un cuadro.
c) el cuadro pesa 8 kg más que la flecha.
1.4 Lectura: Los ceros «imperfectos»
2.1 Relaciones de Orden.
4<9 porque 4 está a la izquierda del 9
Ahora analicemos estas relaciones de orden en los números negativos. Recordemos que un número negativo posee magnitud y signo, por ejemplo -8 tiene magnitud o distancia 8 y signo negativo.
Al comparar -10 (negativo diez, recuerde leerlo bien y NO como menos diez) con -4 (negativo cuatro) podemos afirmar que -4 es mayor que -10 porque en la recta numérica, -4 está a la derecha del -10, simbólicamente sería:
2.1.1 Escriba <, > o = según el caso:
a) 4 __ 6
b) 8__0
c) -2__-1
d) 0__-3
e) -3__+3
f) 4+5 __4+(-5)
g) -234___-233
h)1-100 __1-2000
2.1.2 Ubique en la recta numérica los números a y b si se sabe que:
a) a>b
b) ac, c>b y c<0 ¿cómo son a y b?
2.1.3 Organice de menor a mayor los siguientes números:
a) -6, 7, -4 y 0
b) -34, 28, -1, 7 y 23
c) 4+5, 3-5, 6-12 y 0-4 Realice las operaciones para ordenar los cuatro resultados.
2.2 Distancia de un número entero al origen: Valor absoluto.
Cuyo resultado es de 5. En pocas cuentas es dejar la cantidad que aparece en la parte interna, como positivo, siempre.
Ejemplos:
Identificar el valor absoluto de un número entero es de gran importancia en el momento de sumar, situación que veremos más adelante.
2.2.1 Calcular:
a) │20│
b) │-250│
c) │-1500│
d) │-8│+ │-20│
e) ││120-110│-300│
2.3 Opuesto de un número entero.
El opuesto de un número entero es otro número que tiene igual distancia con el cero. Por ejemplo, el opuesto de -5 es +5, pues ambos tienen valor absoluto 5.
Notación
Notación de función: Para indicar que se va a calcular el opuesto de un número, se antecede este de la abreviatura op y entre paréntesis se escribe el número, por ejemplo:
Propósito: comprender la importancia de las relaciones de orden, opuesto y valor absoluto de números enteros.
Indicador de desempeño: realiza operaciones de suma y resta haciendo uso del cálculo de opuesto y valor absoluto de un número entero.
1. Fase Afectiva.
1.1 Se introducen 5 balotas (bolas plásticas como las de jugar ping pong) en una urna, marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Sebastián y Julia juegan a sacar dos balotas, una seguida de la otra y restar los números: la primera extraída menos la segunda. Sebastián gana si la resta se puede realizar en los números naturales y Julia gana si se puede realizar en los números enteros.1.1.1 Escribe todas las posibles sustracciones e indica cuál de ellas se pueden realizar en los números naturales y cúales sólo en los números enteros.
1.1.2 Indica para cuál de los dos es más probable ganar.
1.2 Los números enteros fueron aceptados cuando tuvieron su representación geométrica en la recta numérica. Además, sirvieron para dar solución a ecuaciones como x+5=4, donde x=-1. Soluciona las siguientes ecuaciones mostrando el proceso mediante la aplicación de la propiedad uniforme, cancelativa en naturales, modulativa de la suma y clausurativa en Z, por ejemplo:
.............x+5=4......................Ecuación dada.
.........x+5-5=4-5 ..................Se resta 5 en ambos lados para despejar la incógnita.
...........x+0 = 4-5...................5-5=0 Propiedad cancelativa de la resta en N..........x+5-5=4-5 ..................Se resta 5 en ambos lados para despejar la incógnita.
................x =4-5....................x+0= x Propiedad modulativa de la suma.
.................x=-1......................4-5=-1 Propiedad clausurativa en Z.
1.2.1........... x+4=3
1.2.2........... k+5=5
1.2.3........... y+2=1
1.2.4........... 3+x=10
1.2.5........... 2+p+4=5
1.2.6........... x-6= 0
1.2.7........... x-10=-1
1.2.8........... -10+m+1=3-1
1.2.9........... 34-28=x+10
1.2.10........... x+x+x+120= 117
a) un rombo pesa 5kg más que una flecha.b) una flecha pesa igual que un cuadro.
c) el cuadro pesa 8 kg más que la flecha.
1.4 Lectura: Los ceros «imperfectos»
Varias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Greciaposeen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.1
En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700 a. C.)El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al año 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.
Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero.
Jeroglífico maya para el cero, año36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizandonotación posicional.
El cero también surgió en Mesoamérica y fue ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Civilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por la CivilizaciónOlmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya.2 A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de sunotación posicional, les privó de posibilidades operativas.3
Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba el valor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos pensar que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muy pocos se sumaron a él, y fue desvaneciéndose en la Historia.
Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaba por 1000.
1.4.1 Teniendo como punto de referencia el nacimiento de Cristo, ubica en una recta numérica los acontecimientos mencionados en la lectura.
Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Cero
2. FASE COGNITIVA
2.1 Relaciones de Orden.
Ordenar objetos ha sido una actividad humana frecuente en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Esta operación se hace con el objetivo de facilitar la búsqueda de elementos en un conjunto de datos o simplemente para caracterizarlos: antecedente y consecuente.
Los números naturales tienen un orden, a partir de este orden se establece la propiedad de antecedente y consecuente. Por ejemplo el antecedente de 5 es 4 y el consecuente de 5 es 6. Esto es posible debido al orden que tienen. Como vimos, los números enteros tienen una representación en la recta numérica, que debe tener de unidad a unidad la misma distancia y los valores marcados en las particiones, deben tener la misma diferencia. Desde esta claridad, la recta numérica es una herramienta esencial para comprender el orden en los números enteros Z.
De igual manera como los números naturales, en los enteros, estar a la derecha de un número es ser mayor y estar a la izquierda del número es ser menor. Es por eso que 7 es mayor que 5 porque 7 está a la derecha del 5, ó 5 es menor que 7 porque 5 está a la izquierda del 7.
Notación.
Para indicar que un número es mayor que otro usamos el símbolo >, para indicar que un número es menor que otro utilizamaos el símbolo < y para idicar que un número es equivalente a otro usamos el símbolo =.
Ejemplos:
7>5 porque 7 está a la derecha de 5De igual manera como los números naturales, en los enteros, estar a la derecha de un número es ser mayor y estar a la izquierda del número es ser menor. Es por eso que 7 es mayor que 5 porque 7 está a la derecha del 5, ó 5 es menor que 7 porque 5 está a la izquierda del 7.
Notación.
Para indicar que un número es mayor que otro usamos el símbolo >, para indicar que un número es menor que otro utilizamaos el símbolo < y para idicar que un número es equivalente a otro usamos el símbolo =.
Ejemplos:
4<9 porque 4 está a la izquierda del 9
Ahora analicemos estas relaciones de orden en los números negativos. Recordemos que un número negativo posee magnitud y signo, por ejemplo -8 tiene magnitud o distancia 8 y signo negativo.
Al comparar -10 (negativo diez, recuerde leerlo bien y NO como menos diez) con -4 (negativo cuatro) podemos afirmar que -4 es mayor que -10 porque en la recta numérica, -4 está a la derecha del -10, simbólicamente sería:
-4 > -10
ó
-10 < -4
ó
-10 < -4
2.1.1 Escriba <, > o = según el caso:a) 4 __ 6
b) 8__0
c) -2__-1
d) 0__-3
e) -3__+3
f) 4+5 __4+(-5)
g) -234___-233
h)1-100 __1-2000
2.1.2 Ubique en la recta numérica los números a y b si se sabe que:
a) a>b
b) ac, c>b y c<0 ¿cómo son a y b?
2.1.3 Organice de menor a mayor los siguientes números:
a) -6, 7, -4 y 0
b) -34, 28, -1, 7 y 23
c) 4+5, 3-5, 6-12 y 0-4 Realice las operaciones para ordenar los cuatro resultados.
2.2 Distancia de un número entero al origen: Valor absoluto.
En la recta numérica a la ubicación del cero se le conoce como origen. La distancia a la cual se encuentra un número del cero se le llama valor absoluto y se simboliza con dos barras verticales encerrando el número:
│x│
Por ejemplo, cuando se pregunta por la distancia a la cual se encuentra el -5 del cero, se simboliza:│-5│
Ejemplos:
a) │-4│=4
b) │7│
=7
c) │-4+9│
=│5│
=5
d) 10+│-12│
10 +12
22
e) ││-20│-│250││
=│20-250│
=│-230│
=230
=│5│
=5
d) 10+│-12│
10 +12
22
e) ││-20│-│250││
=│20-250│
=│-230│
=230
Identificar el valor absoluto de un número entero es de gran importancia en el momento de sumar, situación que veremos más adelante.
2.2.1 Calcular:
a) │20│
b) │-250│
c) │-1500│
d) │-8│+ │-20│
e) ││120-110│-300│
2.3 Opuesto de un número entero.
El opuesto de un número entero es otro número que tiene igual distancia con el cero. Por ejemplo, el opuesto de -5 es +5, pues ambos tienen valor absoluto 5.
Notación
Notación de función: Para indicar que se va a calcular el opuesto de un número, se antecede este de la abreviatura op y entre paréntesis se escribe el número, por ejemplo:
op(-34)
=34
=34
Notación con signo negativo: Para indicar que se va a extraer el opuesto de x se denota con el símbolo -, seguido del número entre paréntesis así:
b) op(45)
c) -(90)
d) -(+90)
e) -(3-5)
f) op( op(-34) )
g) -( -(-78) )
Propiedad del inverso aditivo.
En la solución de ecuaciones se hace necesario aplicar la propiedad uniforme de tal manera que se adiciona en ambos costados el opuesto de una cantidad, para que esta se elimine, es decir, que sume cero, pues ¿qué sucede cuando sumas un número con su opuesto? Veamos:
Por ejemplo, al sumar 3 + op(3):
-(-9)
=+9
a) op(-5)=+9
Ambas notaciones son válidas, pero es más frecuente la segunda.
2.3.1 Calcular:
2.3.1 Calcular:
b) op(45)
c) -(90)
d) -(+90)
e) -(3-5)
f) op( op(-34) )
g) -( -(-78) )
Propiedad del inverso aditivo.
En la solución de ecuaciones se hace necesario aplicar la propiedad uniforme de tal manera que se adiciona en ambos costados el opuesto de una cantidad, para que esta se elimine, es decir, que sume cero, pues ¿qué sucede cuando sumas un número con su opuesto? Veamos:
Por ejemplo, al sumar 3 + op(3):
3 + op(3)
3+(-3)
0
3+(-3)
0
Recuerda que en el diagrama de vectores o flechas, la final coincide con el origen.
Al sumar un número con su opuesto se obtiene cero.
2.3.2 Resolver las ecuaciones adicionando el opuesto de la cantidad que consideres necesaria:ç
a) x+45 =28 Ayuda: Adiciona el opuesto de 45 en ambos lados.
b) m + 78 = 77
c) d +(-3) = 45
d) 128 + f = 18
e) 2h +56 = h+1
Las operaciones valor absoluto y opuesto de un número son unarias, pues transforman una sola cantidad. Para comprenderlo hay que reflexionar acerca de cuántos números se necesitan para hacer una suma, la respuesta es que se necesitan dos cantidades, es por esto que la suma se conoce como operación binaria.
2.4 Suma en números enteros.
Curiosidad matemática: un caracol sube una pared de 6 metros de altura. En el día sube tres metros y en la noche se queda dormido y resbala uno. ¿Al cabo de cuántos días llega a la parte más alta de la pared?
Cómo vimos, la suma en la recta real consistía en dibujar vectores, uno seguido del otro de acuerdo al sentido y magnitud de los sumandos.
Después de tan ámplia exploración geométrica, se hace necesario reflexiones acerca de las siguientes situaciones:
a) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son positivos?
b) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando un sumando es positivo y el otro negativo o viceversa?
c) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son negativos?
Escribe diez sumas de cada caso y argumenta tu respuesta, si es necesario, haz uso de la operación valor absoluto para justificar tu respuesta. Es recomendable que después de obtener tus análisis, los compares con la teoría consultada en libros e internet.
Fin de la guía taller.
Al sumar un número con su opuesto se obtiene cero.
2.3.2 Resolver las ecuaciones adicionando el opuesto de la cantidad que consideres necesaria:ç
a) x+45 =28 Ayuda: Adiciona el opuesto de 45 en ambos lados.
b) m + 78 = 77
c) d +(-3) = 45
d) 128 + f = 18
e) 2h +56 = h+1
Las operaciones valor absoluto y opuesto de un número son unarias, pues transforman una sola cantidad. Para comprenderlo hay que reflexionar acerca de cuántos números se necesitan para hacer una suma, la respuesta es que se necesitan dos cantidades, es por esto que la suma se conoce como operación binaria.
2.4 Suma en números enteros.
Curiosidad matemática: un caracol sube una pared de 6 metros de altura. En el día sube tres metros y en la noche se queda dormido y resbala uno. ¿Al cabo de cuántos días llega a la parte más alta de la pared?Cómo vimos, la suma en la recta real consistía en dibujar vectores, uno seguido del otro de acuerdo al sentido y magnitud de los sumandos.
Después de tan ámplia exploración geométrica, se hace necesario reflexiones acerca de las siguientes situaciones:
a) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son positivos?
b) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando un sumando es positivo y el otro negativo o viceversa?
c) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son negativos?
Escribe diez sumas de cada caso y argumenta tu respuesta, si es necesario, haz uso de la operación valor absoluto para justificar tu respuesta. Es recomendable que después de obtener tus análisis, los compares con la teoría consultada en libros e internet.
Fin de la guía taller.
RECORDAR :
INVESTIGAR SOBRE EL ORIGEN DE LOS SÍMBOLOS DE LA MATEMÁTICA .
ACUERDENSE DE LA TAREA DE MATEMATICAS DE PROFE. CANTERO .
Comasaca, Grado 7 Mañana, Conceptos fundamentales Números Enteros.
Historia:
Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con losaumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.
El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.
Fragmento tomado de: Historia de los números enteros.
Fragmento tomado de: Historia de los números enteros.
Ejercicio 1: Responde los siguientes interrogantes a partir de la lectura anterior.
1.1 Según los chinos, ¿por qué surgieron los números enteros?
1.2 Dibuja en tu cuaderno la manera como crees que los chinos representaban la operación: tener 200 y deber 210, haciendo uso de los bastoncillos.
1.3 ¿Por qué crees que los antiguos griegos rechazaron la existencia de los números enteros?
1.4 Explica como la actividad de la contabilidad ayudó a la introducción de los números enteros en las matemáticas.
1.5 Escribe una situación con su operación, en la que tu creas que se utilizaron los números enteros por los comerciantes alemanes del siglo XV.
1.6 ¿Qué entiendes por "opuestos de los positivos? ¿Cuál es el opueso de 500?
Ejercicio 2: Escribe la operación matemática o cantidad numérica, según el caso, que representa la situación dada, haga uso de números enteros.
2.1 Deber $10.000 Respuesta: Se representa con el número -10.000
2.2 Tener $500
2.3 Sacar $200.000 del banco cuando sólo se tienen depositados $180.000
2.4 Avanzar a la izquierda 10 metros. (Dibujar recta numérica)
2.5 Avanzar a la derecha 50 metros.
2.6 Bajar 4 metros.
2.7 Subir 8 m.
2.8 Avanzar a la izquierda 6m y luego bajar 3m.
Ejercicio 3: Ubique en una misma recta numérica los conjuntos de números que se indican.
Nota: el desafio cognitivo aquí es usar la escala adecuada de tal manera que se puedan representar todos los numéros indicados con la mayor precisión posible.
3.1 4, -3 y 0
3.2 -5, 10 y 50
3.3 -300, 200 y 100
3.4 -45, 30 y 28
Ejercicio 4: Escriba la suma que se representa en cada gráfica.
Nota: para observar la gráfica con mayor claridad, dar clic en la imagen.
Nota: para observar la gráfica con mayor claridad, dar clic en la imagen.
Ejercicio 5: Represente en la recta real las siguientes expresiones:
5.1 El número -6
5.2 El número +8
5.3 La operación 4+(-3)
5.4 La operación -40+(20) Nota: haga la escala de 10 en 10
5.5 La operación 35+(-10)+20 Nota: haga la escala de 5 en 5.
5.6 La operación -1200+(-1500)
Ejercicio 6: Resuelve los siguientes problemas.
6.1 Camilo tenía en su alcancía cierta cantidad de dinero, sólo recuerda que al pagar una deuda de 12.000 pesos con ese monto, se quedo vacía la alcancía. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
6.2 La casa de Dario se encuentra entre un colegio y el centro de salud. Los tres sitios están en la orilla de una carretera recta de tal manera que la casa de Dario hace que los otros dos estén a distancias opuestas. Si la distancia entre el centro de salud y el colegio es de 600 metros, ¿a qué distancia se encuentra Dario de los dos lugares? Nota: construir un dibujo a escala.
6.3 Según la gráfica de abajo, los puntos A y B no están:
a) igualmente distanciados b) equidistantes c) en la parte positiva6.4 ¿A qué distancia se encuentran los puntos A y B con respecto al cero?
6.5